В программе интеграруемая функция задается в реализует метод прямоугольников, а trapezium. Описан метод средних прямоугольников ( метод прямоугольников), метод левых и правых прямогольников, выведены формулы, дана оценка. Составные квадратурные. формулы прямоугольников напишем в следующем виде в) Симпсона. Результаты оформить в следующем виде (для N = 2): Метод. Текст программы, Численное интегрирование методом прямоугольников: program integral; { Вычисляет приближенное значение } { интеграла функции F .
Методы прямоугольников и трапеций. Материал из Machine. Learning. Введение Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла. Если один или оба предела равны или , то с помощью трюков с заменой переменных можно осуществить переход к конечному отрезку от луча или всей числовой прямой.
Введем на сетку с переменным шагом , т. Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла.
Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке..
Метод прямоугольников Формула прямоугольников на частичном отрезке и ее погрешность Заменим интеграл (3) выражением , где Тогда получим формулу. Погрешность метода (5) определяется величиной. Тейлора. Действительно, запишем в виде. Тогда из (6) получим. Обозначая , оценим следующим образом. Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка.
Заметим,что оценка (7) является неулучшаемой, т. Действительно, для имеем и. Составная формула прямоугольников и ее погрешность Суммируя равенства (5) по от до , получим составную формулу прямоугольников( 8 )Погрешность этой формулы.
Отсюда, обозначая , получим. Видим, что квадратурная формула имеет второй порядок точности. Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек Заметим, что метод прямоугольников в том виде,в котором он описан выше, не применим в общем случае к функциям,значения которых мы знаем в конечном числе точек, так как, например, мы не всегда можем разбить отрезкок интегрирования на подотрезки, серединами которых являются точки,в которых нам известно значение функции.
Метод трапеций Формула трапеций на частичном отрезке и ее погрешность На частичном отрезке эта формула имеет вид. Для оценки погрешности достаточно вспомнить,что. Оценка (1. 1) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для . Составная формула трапеций и ее погрешность Составная формула трапеций имеет вид. Погрешность этой формулы оценивается следующим образом. Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности,, но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.
Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек В отличие от метода прямоугольников, метод трапеций применим к функциям, заданным в конечном числе точек, так как мы всегда можем взять в качесве узлов интегрирования данные точки. Числовой пример Вычислим по формулам прямоугольников и трапеций при интеграл. В данном случае. Зная точный ответ (1. Вторая производная функции на отрезке отрицательна, ее модуль не превышает единицы: . Величина погрешностей (1. Рекомендации программисту Оценка погрешности Величина погрешности численного интегрирования зависит как от шага сетки , так и от гладкости подынтегральной функции .
Например, в оценку (1. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке . Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т. Апостериорную оценку погрешности можно осуществить методом Рунге. Пусть какая- то квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности , т. Тогда. ( 1. 6 )( 1.
Вот написал простенькую прогу по вычислению определенного интеграла методом прямоугольников. Но что-то в консоли ничего не выводится. Вот код. Методы прямоугольников На практике используют следующие методы прямоугольников Программа вычисления интеграла по методу левых прямоугольников на языке.
Пусть используется составная квадратурная формула. Проведем на каждом частичном отрезке все вычисления дважды, один раз - с шагом и второй раз - с шагом и оценим погрешность по правилу Рунге (1. Пример программы на языке C++ В программе интеграруемая функция задается в функции . В данном примере интегрируется логарифм и эта функция выглядит так. Функция реализует метод прямоугольников, а - метод трапеций. Эти функции имеют следующие параметры.
Заключение Методы прямоугольников и трапеций являются одними из простейших методов интегрирования (запрограммировать их не составляет особого труда). Но эти методы имеют лишь второй порядок точности,в то время как есть методы более высоких порядков. Если же сравнивать эти два метода между собой, то метод прямоугольников, который относится к методам Гаусса - Кристоффеля, является точнее метода трапеций, относящегося к методам Ньютона - Котеса.
Но в то же время метод трапеций может применяться с произвольным шагом, в отличие от метода прямоугольников, который, как мы увидели, не применим, например, к функциям,заданным в конечном числе точек. Список литературы А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы М.: Наука, 1. А. А. Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1. Категории: Незавершённые статьи Численное интегрирование Учебные задачи.